Grupo de estudo · Matemática · IFP
Lógica, conjuntos e intervalos
sex 23/10 às 07:47 · 7 exercício(s)
- A\(\left\{x \in \mathbb{Q} \mid x \ge \frac{30}{17}\right\}\)
- B\(\left\{x \in \mathbb{Q} \mid x \ge -\frac{30}{17}\right\}\)
- C\(\left\{x \in \mathbb{Q} \mid x \le \frac{30}{17}\right\}\)
- D\(\left\{x \in \mathbb{Q} \mid x \le -\frac{30}{17}\right\}\)
Exame de 2025 · pergunta 18
Pessoal, aqui vai a correcção da questão 18. Queremos resolver em Q a desigualdade x/2 - x/4 ≥ x/3 + x/5 - 1/2. Multiplica-se tudo por 60 (mmc de 2,4,3 e 5): 60·(x/2)=30x, 60·(x/4)=15x, 60·(x/3)=20x, 60·(x/5)=12x e 60·(1/2)=30. Fica: 30x - 15x ≥ 20x + 12x - 30 ⇒ 15x ≥ 32x - 30. Passando 32x para a esquerda: 15x - 32x ≥ -30 ⇒ -17x ≥ -30. Ao dividir por -17 o sinal inverte-se, logo x ≤ 30/17. Assim o conjunto verdade em Q é {x ∈ Q | x ≤ 30/17}. Muito bem a todos pela resposta correcta! ✅ Lembra-te: o passo decisivo é inverter o sinal quando se divide por um número negativo.
10 de 10 acertaram
Resolução completa no blog ↗- A\(A \cup A = C\)
- B\(B \cup \emptyset = A\)
- C\(A \cup B = A\)
- D\(A \cup \emptyset = A\)
Exame de 2024 · pergunta 7
Juntar o conjunto vazio não acrescenta elementos.
Para qualquer elemento x, x ∈ A ∪ ∅ significa x ∈ A ou x ∈ ∅. Mas x ∈ ∅ é falso para todo x, porque o conjunto vazio não tem elementos. Logo x ∈ A ∪ ∅ só pode acontecer se x ∈ A.
Assim A ∪ ∅ = A.
As outras alternativas só seriam verdadeiras em casos particulares: A) seria verdade se C = A; B) seria verdade se B = A; C) é verdade apenas quando B ⊆ A.
Resposta certa: D) A ∪ ∅ = A.
- A\(\{x : x \le 5,\ x \in \mathbb{Q}\}\)
- B\(\{x : x \ge 50,\ x \in \mathbb{N}\}\)
- C\(\{x : -10 \le x \le 10,\ x \in \mathbb{Z}\}\)
- D\(\{x : x \lt -1,\ x \in \mathbb{R}\}\)
Exame de 2024 · pergunta 6
Um conjunto finito tem um número finito de elementos.
A) {x : x ≤ 5, x ∈ Q} — Não é finito. Há infinitos racionais menores ou iguais a 5 (os racionais não acabam).
B) {x : x ≥ 50, x ∈ N} — Não é finito. A partir de 50 há infinitos naturais: 50, 51, 52, ... continuam sem fim.
C) {x : -10 ≤ x ≤ 10, x ∈ Z} — Finito. Contamos os inteiros de -10 a 10: há 10 negativos, o 0 e 10 positivos, total 10 + 1 + 10 = 21 elementos.
D) {x : x < -1, x ∈ R} — Não é finito. Existem infinitos reais menores que -1.
Logo, a alternativa correcta é a C (o conjunto tem 21 elementos).
- A1
- B3
- C5
- D7
Exame de 2023 · pergunta 9
Temos 44 pessoas no total. 15 trabalham por conta própria e 36 trabalham com contrato assinado.
Se somarmos os dois grupos obtemos 15 + 36 = 51. Isso conta duas vezes as pessoas que pertencem aos dois grupos.
Como o total real é 44, o excesso 51 − 44 = 7 corresponde exactamente às pessoas que estão em ambos os grupos.
Usando a fórmula: n(A∪B) = n(A) + n(B) − n(A∩B). Logo n(A∩B) = 15 + 36 − 44 = 7.
Resposta certa: 7 (alternativa D).
- A1
- B3
- C5
- D7
Exame de 2022 · pergunta 9
Temos um grupo de 42 pessoas.
13 trabalham por conta própria e 34 trabalham com contrato assinado.
Ao somar esses dois grupos obtemos 13 + 34 = 47.
Mas só há 42 pessoas no total, logo contabilizámos algumas pessoas duas vezes.
Usamos a fórmula da união: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B).
Queremos n(A ∩ B), então:
n(A ∩ B) = n(A) + n(B) - n(A ∪ B).
Substituindo: n(A ∩ B) = 13 + 34 - 42 = 5.
Intuitivamente, essas 5 pessoas foram contadas tanto no grupo dos que trabalham por conta própria como no grupo dos que têm contrato.
Resposta certa: C) 5
- A\(A \cap \emptyset = A\)
- B\(B \cup \emptyset = A\)
- C\(A \cup B = A\)
- D\(A \cup A = A\)
Exame de 2023 · pergunta 7
Passo 1 — Lembra as definições básicas.
- A ∪ A é o conjunto de elementos que pertencem a A ou a A.
- A ∩ ∅ é o conjunto de elementos que pertencem a A e ao vazio.
- B ∪ ∅ é o conjunto de elementos que pertencem a B ou ao vazio.
Análise das alternativas:
A) A ∩ ∅ = ?
Como o conjunto vazio ∅ não tem elementos, não há nenhum elemento que pertença simultaneamente a A e a ∅. Logo A ∩ ∅ = ∅. A alternativa A está errada.
B) B ∪ ∅ = ?
A união com o vazio não acrescenta elementos. Assim B ∪ ∅ = B, não A. A alternativa B está errada.
C) A ∪ B = A ?
Isto só é verdade se todos os elementos de B já estiverem em A, ou seja, se B ⊂ A. Sem essa condição, A ∪ B contém elementos de B que podem não estar em A, por isso em geral a igualdade não vale. A alternativa C está errada (apenas verdadeira em caso especial B ⊂ A).
D) A ∪ A = ?
A união de um conjunto consigo próprio é o próprio conjunto: A ∪ A = A. Portanto a propriedade da alternativa D é correcta.
Resposta certa: D
- A\(\mathbb{Z}^+ \cup \mathbb{Z}^- = \mathbb{Z}\)
- B\((3{,}2 - 1) \in \mathbb{N}\)
- C\(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}\)
- D\(5{,}17 \in \mathbb{Z}\)
Exame de 2023 · pergunta 8
Passo 1 — lembrar definições: todo número natural é também inteiro. Por isso N ⊂ Z.
Analisemos as alternativas:
A) Z+ ∪ Z- = Z? Não. Z+ (inteiros positivos) e Z- (inteiros negativos) juntos não incluem o zero. Falta o 0, logo não dão todo Z.
B) 3,2 - 1 = 2,2. Esse resultado não é um número natural (tem parte decimal), por isso a afirmação é falsa.
D) 5,17 é um número decimal com parte fraccionária; não é inteiro. Logo D é falsa.
Conclusão: a única afirmação verdadeira é que todo número natural é inteiro. Resposta certa: C.
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